高维 Sturm-Liouville 问题第 n 个特征值的奇异性

在 Kong、Wu 和 Zettl [14] 给出一维情形结果之后，自然地可考虑 $d$ 维（$d\geq2$）Sturm-Liouville 问题第 $n$ 个特征值对参数的连续依赖性。本文中，我们找出了使第 $n$ 个特征值不连续的所有边界条件，并给出第 $n$ 个特征值渐近行为的完整刻画。这给出了第 $n$ 个特征值在此类边界条件附近跳跃现象的精确描述。此外，我们将边界条件空间划分为 $2d+1$ 层，并证明当限制于每一层时，第 $n$ 个特征值对 Sturm-Liouville 方程及边界条件连续依赖。另外，我们证明了特征值的解析重数与几何重数相等。最后，我们得到了关于边界条件的特征值导数公式及正方向。