稳定从属过程的奇异积分

众所周知，对 $\theta \in (0,1)$ 有 $\int_{0}^{1} t^{-\theta} d t<\infty$，而对 $\theta \in [1,\infty)$ 有 $\int_{0}^{1} t^{-\theta} d t=\infty$。由于 $t$ 可取为 $\alpha=1$ 的 $\alpha$-稳定从属过程，自然要问当 $S_{t}$ 为 $\alpha \in (0,1)$ 的 $\alpha$-稳定从属过程时，$\int_{0}^{1} t^{-\theta} d S_{t}$ 是否具有类似性质。我们证明 $\theta=\frac 1\alpha$ 为临界线：对 $\theta \in (0, \frac 1\alpha)$ 该积分 a.s. 有限，而对 $\theta \in [\frac1\alpha,\infty)$ a.s. 发散。当 $\alpha=1$ 时，我们的结果恢复了 $\int_{0}^{1} t^{-\theta} d t$ 的结论。此外，对 $\theta \in (0,\frac 1\alpha)$ 我们给出了该积分的 $p$ 阶矩估计。