帕斯卡三角形内部的辛马斯特定理猜想

辛马斯特定理猜想断言，每个大于一的自然数在帕斯卡三角形中至多出现有界次数；即对于任意自然数 $t \geq 2$，方程 $\binom{n}{m} = t$ 在自然数 $1 \leq m < n$ 中的解的个数有界。在本文中，我们在内部区域 $\exp(\log^{2/3+\varepsilon} n) \leq m \leq n-\exp(\log^{2/3 + \varepsilon} n)$（对任意固定的 $\varepsilon > 0$）中建立了这一结果。事实上，当 $t$ 充分大（依赖于 $\varepsilon$）时，我们证明在该区域内至多存在四个解（或在帕斯卡三角形的任一半中至多两个）。我们还对方程 $(n)_m = t$ 建立了类似的结果，其中 $(n)_m := n(n-1)\ldots(n-m+1)$ 表示下降阶乘。