单形平均算子:低维下的拟 Banach 与 $L^p$ 改进界

我们建立了 $k$-单形平均算子 $S^k$ 在一些维数 $d \geq k$ 下成立的新 $L^p$-改进界。作为这些 $L^p$-改进界的推论,我们得到非平凡界 $S^k\colon L^{p_1}\times\cdots\times L^{p_k}\rightarrow L^r$,其中 $r < 1$。特别地,我们证明三角形平均算子 $S^2$ 在维数 $d\geq 2$ 下映射 $L^{\frac{d+1}{d}}\times L^{\frac{d+1}{d}} \rightarrow L^{\frac{d+1}{2d}}$。这改进了 Palsson 与 Sovine 得到的拟 Banach 界,并推广了 Greenleaf、Iosevich、Krauss 与 Liu 在 $k = d = 2$ 情形所得的界。