用于最小范数负载均衡的更简更优算法

最近，Chakrabarty 和 Swamy（STOC 2019）引入了不相关机器上的最小范数负载均衡问题，其中给定一组需调度到 $m$ 台不相关机器上的作业集 $J$，以及一个单调对称范数；我们寻求一个分配 $\sg:J\mapsto[m]$，使所得负载向量 $\lvec_\sg\in\R_+^m$ 的范数最小，其中 $\lvec_\sg(i)$ 是分配 $\sg$ 下机器 $i$ 上的负载。除涵盖所有 $\ell_p$ 范数外，对称范数还涵盖其他受关注范数，包括 top-$\ell$ 范数与有序范数。Chakrabarty 和 Swamy（STOC 2019）通过其为最小范数优化开发的通用框架给出了该问题的 $(38+\ve)$-近似算法，该框架首先（经一系列步骤）将此问题仔细归约为称为最小最大有序负载均衡的问题，然后为有序负载均衡设计所谓的确定性盲 LP 舍入算法。我们基于舍入该问题的一个（近最优）新型凸规划松弛解，给出了最小范数负载均衡的一个直接且简单的 $4$-近似算法。尽管编码最小范数负载均衡问题的自然凸规划具有较大的非常数积分间隙，我们证明可通过加入一个约束负载向量范数的关键约束来补救该问题。我们的技术还给出了以下问题的（本质上）$4$-近似：(a) 多范数负载均衡，其中给定多个单调对称范数，且寻求满足每个范数给定预算的分配；(b) 给定实例对所有对称范数可实现的最佳同时近似因子。