基于 $L$-函数方法的随机 $\ell_p$ 负载均衡与矩问题

本文考虑目标函数涉及随机变量幂的随机优化问题。例如，考虑经典随机 lp 负载均衡问题（SLBp）：有 $m$ 台机器和 $n$ 个作业，已知独立随机变量 $Y_{ij}$ 描述若将作业 $j$ 分配给机器 $i$ 所产生的负载。目标是将每个作业分配给机器，以最小化机器上总负载的期望 $l_p$-范数。尽管凸松弛是最强大的算法工具之一，但在 SLBp 等问题中，主要困难在于以仅分别依赖于每个随机变量的方式刻画目标函数。我们展示如何利用 $L$-函数方法（由 Latała 引入以将随机变量之和的矩与各个边缘分布相联系）以此种可分离方式刻画 $p$-幂型目标。我们展示这如何快速导出具有 $p$-矩目标的非常一般的子集选择问题的常数因子近似。此外，我们给出 SLBp 的常数因子近似，改进了近期 [Gupta et al., SODA 18] 的 $O(p/\ln p)$-近似。此处方法的应用要复杂得多。特别地，我们需要敏锐地将随机向量的期望 $l_p$-范数与其边缘（机器负载）的 $p$-矩相联系，同时考虑由未知分配所产生的负载的不同尺度。