负载均衡问题的加性近似方案

本文引入加性近似方案的概念，并将其应用于负载均衡问题。加性近似方案旨在找到目标函数值绝对误差至多为 $\epsilon h$ 的解，其中 $h$ 为某个合适参数。在参数 $h$ 提供下界的情况下，加性近似方案意味着标准的乘性近似方案，并且当 $h \ll$ OPT 时可能强得多。另一方面，当不存在（或不太可能存在）PTAS时，加性近似方案可提供另一种近似概念。我们考虑将作业分配给具有相同处理能力的机器且机器负载有上下界的问题。该设定推广了诸如完工时间最小化、圣诞老人问题（在相同机器上）以及最小化嫉妒的圣诞老人问题等。对于最后一个问题，其目标是最小化最大负载与最小负载之差，最优目标值可能为零，因此获得任何乘性近似保证都是NP难的。对于这类问题，我们给出了以 $h = p_{\max}$（作业的最大处理时间）为参数的加性近似方案。我们的技术贡献有两方面。首先，我们引入了一种基于将槽位整数分配给机器并将作业分数分配给槽位的新松弛（slot-MILP）。我们识别了slot-MILP（近）最优解的结构性质，使其能在机器负载的上下界种类为 $O(1)$（上述三个问题的相关设定）时高效求解。第二个技术贡献是一种基于局部搜索的算法，该算法对slot-MILP的解进行舍入，在目标负载区间上引入至多 $\epsilon\cdot p_{\max}$ 的加性误差。