区分数据集中强正则图的简单廉价顶点与边不变量

虽然标准的 Weisfeiler-Leman 顶点标签甚至无法区分正则图的顶点，但本文提出并测试了一族廉价的多项式时间顶点和边不变量，它们能区分难度大得多的强正则图（SRG），并且通常也能区分其顶点。在 Edward Spence 数据集中的 43717 个强正则图中，仅使用所提出的顶点不变量就能区分除 4 对图之外的所有图，而这 4 对图通过进一步应用所提出的边不变量很容易被区分。具体来说，所提出的顶点不变量是限制在顶点 $a$ 的邻域 $N_a$ 上的邻接矩阵 $A$ 的 $(A|_{N_a})^p$ 的迹或排序对角线，仅 $p=3$ 就能区分该数据集中 13 个集合里 6 个集合的所有 SRG，若加上 $p=4$ 则可区分 8 个集合。所提出的边不变量类似地是 $\bar{A}_{ab,cd}=A_{ab} A_{ac} A_{bd}$ 的幂的迹或对角线，其中 $(a,b)$ 为边时该值非零。由于 SRG 被认为是图同构问题中最困难的情况，这种代数-组合不变量为该问题可在多项式时间内解决带来了希望。