分支覆盖的签名

本文研究黎曼球面上除去有限个例外点后的分支覆盖，其性质为每个分支点周围的局部单值性具有有限阶。对于此类覆盖，我们赋予其\textit{签名}，即其例外点与分支点的集合，连同各分支点周围局部单值算子的阶数。若已知分支覆盖的签名，关于其单值群能得出什么结论？初看似乎一无所知或知之甚少。事实上，一般情况下确实如此。然而，存在一个（较小的）\textit{椭圆型}和\textit{抛物型}签名列表，对于这些签名，单值群可以被完全描述，或至少确定到相差一个阿贝尔因子。本附录致力于研究这些签名。对于所有这些签名（除一个例外），相应的单值群被证明是可解的。与这些签名相关的 Fuchs 型线性微分方程可用求积法求解（对于椭圆型签名，则可用代数函数求解）。此类的一个著名例子是欧拉微分方程，它可以化为常系数线性微分方程。与所有这些签名（除一个外）相关的代数函数均可用根式表示。此类的一个简单例子是切比雪夫多项式的逆可用根式表示的可能性。另一类例子是与椭圆函数幅角除法定理相关的函数。此类函数在 Ritt 的著作 [1] 中起着核心作用。