作为由初始代数柯西完备化所得最终余代数的谢尔宾斯基垫片

本文给出谢尔宾斯基垫片（$\mathbb{S}$）作为最终余代数的一种描述：它是三基点有界度量空间（连续映射为态射）范畴上某自函子的初始代数经柯西完备化所得。此前已观察到 $\mathbb{S}$ 与由初始代数完备化所得余代数是双 Lipschitz 等价的，而后者在态射限制为短映射时被观察到是最终的。这引出了一个问题“在 Lipschitz 设定下 $\mathbb{S}$ 是否为最终余代数？”。本文结果表明自然设定是考虑所有连续函数。将最终余代数描述为初始代数的柯西完备化已被显式用于确定从给定余代数到最终余代数的中介态射。这被用于证明：若一余代数的结构映射连续，则其中介态射亦连续。此处对 $\mathbb{S}$ 的描述不仅推广了先前的观察，也统一了关于 $\mathbb{S}$ 的经典描述。我们还通过例子说明，若仅考虑 Lipschitz 映射，则 $\mathbb{S}$ 不是最终余代数。