物理学家的Siegmund对偶：连接连续和离散时间随机过程的空间与首达性质

我们考虑一个一般的一维随机过程x(t)或随机游走X_n，描述粒子在区间[a,b]内演化，边界a和b处有吸收壁。在连续时间中，x(t)由某个平衡过程θ(t)驱动；在离散时间中，X_n的跳跃遵循满足时间反演性质的平稳过程。表征其行为的一个重要可观测量是逃逸概率E_b(x,t)，即给定初始位置x，粒子在时间t之前或时刻首先被壁b吸收的概率。本文表明，该量的推导可以通过研究一个与x(t)非常相似但具有硬壁a和b的对偶过程y(t)来实现。更精确地说，我们证明过程x(t)的E_b(x,t)等于在时间t找到对偶过程位于区间[a,x]内的概率Φ̃(x,t|b)，其中y(0)=b。这在数学中称为Siegmund对偶。这里我们证明该对偶适用于多种物理感兴趣的过程，包括活性粒子模型、扩散扩散率模型、一大类离散和连续时间随机游走，甚至受随机重置影响的过程。对于所有这些情况，我们提供了对偶过程的显式构造。我们还给出了连续和离散时间设置下该恒等式的简单推导，以及大量感兴趣模型的数值测试。最后，我们使用模拟表明该对偶也可能适用于更复杂的过程，如分数布朗运动。