随机过程的非平衡动力学与第一通过性:从布朗运动到主动粒子

本文发展了一系列分析方法，用于研究由彩色噪声驱动的非平衡随机过程，即具有时间相关性的噪声。与由白噪声驱动的过程（如布朗运动）相比，这些非马尔可夫过程具有显著的分析挑战。本文的主要焦点是主动粒子系统，具体是受任意力作用的 run-and-tumble 粒子。我们利用逆向 Fokker-Planck 方程推导了其平均第一次通过时间(MFPT)和区间退出概率的精确表达式。惊人地发现，MFPT 可作为 tumbling rate 的函数进行优化。此外，我们还考察了随机重置和切换扩散模型。对于属于“布朗但非高斯扩散”范畴的切换扩散模型，我们采用续期方法和大偏差理论推导了各种可观测量的精确结果，包括粒子位置分布及其矩，以及关键的累积量（cumulants），用于表征非高斯涨落。我们还发现该模型与自由累积量之间存在意想不到的联系。我们还通过使用 Kesten 变量考察了这些模型在施加谐势时的情形。该方法使我们能够为稳态分布编写积分方程，并在特定情形下进行求解。此外，我们将 Siegmund 二元性——一概念在物理文献中并不广为人知——推广到主动粒子、随机扩散模型、随机重置以及连续时间随机漫步。这种二元性在第一次通过可观测量与二元过程的空间性质之间建立了直接关系，我们显式构造了该二元过程。