Shiraishi 函子与 Macdonald 多项式的非 Kerov 形变

我们提出对 M. Noumi 与 J. Shiraishi 的超几何类级数的进一步推广，将 Pochhammer 符号替换为近乎任意的函数。此外，该推广对完整的 Shiraishi 级数均成立，不仅限于其 Noumi-Shiraishi 部分。近期在双椭圆系统、6d N=2* SYM 瞬子演算以及双紧致化网络模型描述中所需要的 theta 函数，是这一庞大族中非常特殊的一员。该级数依赖于两类变量 $\vec x$ 和 $\vec y$，以及一组参数，如今参数集变为无限大。不过，其中一个参数 $p$ 因其在级数分次中的作用而显得特殊。当 $\vec y$ 被限制于由 Young 图标记的离散子集时，该级数乘以一个单项因子在 $p$ 的任意给定阶上退化为多项式。这一切使得从函数到超几何类级数的映射极具前景，我们称之为 Shiraishi 函子，尽管其究竟保持哪些态射尚待明确。由 Shiraishi 函子在 $p$ 的首阶所启发的广义 Noumi-Shiraishi（GNS）对称多项式，可通过三角变换从 Schur 多项式得到，并拥有有趣的分次结构。它们提供了 Macdonald 多项式的一族形变，其丰富程度不亚于 Kerov 函数族，却与之迥异，且事实上更接近于 Macdonald 多项式。特别地，与 Kerov 情形不同，这些多项式不依赖于三角展开中 Young 图的排序。