移位量子群与超对称规范理论中的物质多重态

移位量子群的概念近来在代数几何中发挥了重要作用。对原始定义的这一微妙修正为量子群的表示理论带来了更多灵活性。本文第一部分给出了移位量子环面$\mathfrak{gl}(1)$和量子仿射$\mathfrak{sl}(2)$代数（分别记为\ddot{U}_{q_1,q_2}^\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{gl}(1))和\dot{U}_q^\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{sl}(2))）的新数学结果。它定义了若干新表示，包括环面代数的有限维最高$\ell$-权表示，以及作用于Hall-Littlewood多项式上的\dot{U}_q^\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{sl}(2))的顶点表示。它还探讨了在极限$q_1\to\infty$（$q_2$固定）下\dot{U}_q^\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{sl}(2))与\ddot{U}_{q_1,q_2}^\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{gl}(1))表示之间的关系，并给出了若干新交织算子的构造。这些结果在第二部分被用于构造5d $\mathcal{N}=1$和3d $\mathcal{N}=2$规范理论的BPS可观测量。特别地，表明5d超多重态和3d手征多重态可在代数工程框架中使用移位表示引入，并从此视角重新审视了Higgs化过程。