关于类似于正整数序列的若干结果

正整数序列 $\{x_n\}_{n\geq1}$ 被称为相对于给定性质 $A$ 类似于 $\mathbb {N}$，如果对于每个 $n\geq1$，数 $x_n$ 和 $n$ 属于相对于 $A$ 的同一等价类 $\enskip(x_n\sim n (prop \enskip A))$。如果 $x_1=a(>1)\sim1 (prop\enskip A)$ 且 $x_n>x_{n-1}$，条件是 $x_n$ 是最接近 $x_{n-1}$ 且满足 $x_n\sim n (prop \enskip A)$ 的数，那么序列 $\{x_n\}$ 被称为以 $a$ 为首项的最小递归序列 $\enskip(\{x_n^{(a)}\})$。我们研究两种情况：$A=A_1$ 是整除某整数的 2 的最高幂的指数，$A=A_2$ 是某整数二进制展开中 1 的个数的奇偶性。在第一种情况下，我们证明对于足够大的 $n$，$\enskip x_n^{(a)}=x_n^{(3)}$；在第二种情况下，我们证明对于 $a>4$ 且足够大的 $n$，$\enskip x_n^{(a)}=x_n^{(4)}$。