非交换 P^1-丛的 Serre 有限性与 Serre 消没性

设 $X$ 是域 $K$ 上的有限型光滑射影概型,$\mathcal{E}$ 是秩为 2 的局部自由 ${\mathcal{O}}_{X}$-双模,$\mathcal{A}$ 是由 $\mathcal{E}$ 生成的非交换对称代数,${\sf Proj}\A$ 是相应的非交换 $\mathbb{P}^{1}$-丛。我们利用内 $\operatorname{Hom}$ 函子 $\HU(-,-)$ 的性质证明了 ${\sf Proj}\A$ 的 Serre 有限性与 Serre 消没性版本。作为 Serre 有限性的推论,我们证明 ${\sf Proj}\A$ 是 Ext-有限的。这一事实在 \cite{izu} 中被用于证明:若 $X$ 是 $\operatorname{Spec}K$ 上的光滑曲线,则 ${\sf Proj }\A$ 具有 Riemann-Roch 定理与伴随公式。