码率与距离乘积快速增长的线性码序列

对于长度为 $n$、维数为 $k$、最小距离为 $d$ 的线性码 $C$，人们希望量 $kd/n$ 较大。给定任意域 $\mathbb{F}$，我们引入一种新颖但初等的构造，产生一个递归定义的 $\mathbb{F}$-线性码序列 $C_1,C_2, C_3, \dots$，其参数为 $[n_i, k_i, d_i]$，使得 $k_id_i/n_i$ 快速增长，即满足 $k_id_i/n_i>\sqrt{k_i}-1>2i-1$。快速增长的另一例子来自 Reed-Muller 码的某一子序列。此处域为 $\mathbb{F}=\mathbb{F}_2$，且 $k_i d_i/n_i$ 渐近于 $3n_i^{c}/\sqrt{\pi\log_2(n_i)}$，其中 $c=\log_2(3/2)\approx 0.585$。