随机切换常微分方程中对切换率的敏感性

我们考虑一个由线性常微分方程驱动的随机过程，其右端项在指数分布的时间点在一组不同的矩阵之间切换。我们构建了在两个矩阵之间切换的平面示例，其中单个矩阵及其平均值均为 Hurwitz 矩阵（所有特征值具有严格负实部），但对于某些切换率值，该过程在大时间尺度下仍趋向于无穷大。我们进一步构建了高维示例，其中两个单个矩阵及其平均值同样均为 Hurwitz 矩阵，但随着切换率的变化，该过程在大时间尺度下会在趋向零与趋向无穷大之间发生任意多次的转换。为了构建这些示例，我们首先一般性地证明：如果每个单个矩阵均为 Hurwitz 矩阵，则对于足够慢的切换率，该过程在大时间尺度下趋向于零；如果平均矩阵为 Hurwitz 矩阵，则对于足够快的切换率，该过程在大时间尺度下趋向于零。我们还给出了确保该过程对所有切换率均在大时间尺度下趋向于零的简单条件。