$2 \times 2$ 阶梯行列式环的半对偶化模

我们继续从半对偶化模的视角研究域 $\mathsf k$ 上的阶梯行列式环。特别地，给定变量阶梯 $Y$，我们证明相应的阶梯行列式环 $\mathsf k[Y]/I_2(Y)$ 恰有 $2^n$ 个互不同构的半对偶化模，其中 $n$ 由阶梯 $Y$ 的组合性质决定：$n$ 本质上等于 $Y$ 的某一分解中非 Gorenstein 因子的个数。由此，对每一 $n$，我们显式说明如何寻找阶梯 $Y$ 使得 $\mathsf k[Y]/I_2(Y)$ 恰有 $2^n$ 个互不同构的半对偶化模。这与我们先前的工作形成对照，后者表明大类阶梯恰有 2 个互不同构的半对偶化模。