平面中的半代数离线范围搜索与二分团划分

设 $P$ 为 ${\mathbb R}^2$ 中 $m$ 个点的集合，$\Sigma$ 为 ${\mathbb R}^2$ 中 $n$ 个具有常数复杂度的半代数集的集合，$(S,+)$ 为半群，$w: P \rightarrow S$ 为 $P$ 中点上的权重函数。我们描述了一种随机算法，用于对每个 $\sigma\in\Sigma$ 计算 $w(P\cap\sigma)$，总期望时间为 $O^*\bigl( m^{\frac{2s}{5s-4}}n^{\frac{5s-6}{5s-4}} + m^{2/3}n^{2/3} + m + n \bigr)$，其中 $s>0$ 是界定 $\Sigma$ 中区域最大复杂度的常数，$O^*(\cdot)$ 记号隐藏了次多项式因子。对于 $s\ge 3$，令人惊讶的是，此界限小于以在线方式回答 $m$ 个此类查询的已知最佳界限。后者需要 $O^*(m^{\frac{s}{2s-1}}n^{\frac{2s-2}{2s-1}}+m+n)$ 时间。设 $\Phi: \Sigma \times P \rightarrow \{0,1\}$ 为布尔谓词（具有常数复杂度），满足 $\Phi(\sigma,p) = 1$ 若 $p\in\sigma$，否则为 $0$，并设 $\Sigma\mathop{\Phi} P = \{ (\sigma,p) \in \Sigma\times P \mid \Phi(\sigma,p)=1\}$。我们的算法实际上计算了 $\Sigma\mathop{\Phi} P$ 的一个划分 ${\mathcal B}_\Phi$，将其分为二分团（bicliques），其规模（即其所有二分团顶点集大小之和）为 $O^*\bigl( m^{\frac{2s}{5s-4}}n^{\frac{5s-6}{5s-4}} + m^{2/3}n^{2/3} + m + n \bigr)$。从 ${\mathcal B}_\Phi$ 可直接计算所有 $\sigma\in \Sigma$ 的 $w(P\cap\sigma)$。类似地，若 $\eta: \Sigma \rightarrow S$ 是 $\Sigma$ 中区域上的权重函数，则对每一点 $p\in P$，$\sum_{\sigma\in \Sigma: p \in \sigma} \eta(\sigma)$ 也可从 ${\mathcal B}_\Phi$ 直接计算。Chan 等人近期的工作在与我们离线解相同的性能界限内解决了此对偶点包围问题的在线版本。我们还提及了计算 ${\mathcal B}_\Phi$ 的其他一些应用。