色散 Korteweg-de Vries 流体力学中的自相似波破碎

我们讨论非线性波向静止介质中传播过程中的破碎问题。假定波在破碎时刻的剖面由坐标 $x$ 的函数 $(-x)^{1/n}$（$x<0$，正脉冲）或 $-x^{1/n}$（$x>0$，负脉冲）描述。波的演化由 Korteweg-de Vries 方程控制，导致形成色散激波。在正脉冲情形下，色散激波形成于波结构的前缘，在负脉冲情形下形成于其后缘。色散激波的动力学由 Whitham 调制方程描述。对于幂律初始剖面，该动力学是自相似的，且对任意 $n>1$ 以封闭形式求得了 Whitham 方程的解。