模曲线 X(N) 上相对对偶层的自交

设 $N\geq 3$ 为合数、奇数且无平方因子整数，并设 $\Gamma$ 为水平 $N$ 的主同余子群。令 $X(N)$ 为与 $\Gamma$ 相关的亏格 $g_{\Gamma}$ 的模曲线。本文中，我们研究 Arakelov 不变量 $e(\Gamma)=\bar{\omega}^2/\varphi(N)$，其中 $\bar{\omega}^2$ 表示 $X(N)$ 极小正则模型上相对对偶层的自交（配备 Arakelov 度量），$\varphi(N)$ 为欧拉函数。我们的主要结果是渐近式 $e(\Gamma) = 2g_{\Gamma}\log(N) + o(g_{\Gamma}\log(N))$，当水平 $N$ 趋于无穷时。