Feynman 积分中的自对偶性与 Galois 对称性

众所周知，给定家族内的所有Feynman积分都可表示为有限线性组合的主积分。主积分自然地分组为子部门。从两环开始，子部门中可以包含超过一个主积分。在本文中，我们展示此类子部门可能具有额外的对称性。首先，自对偶性——最早在与 Calabi--Yau 几何相关的Feynman积分中观察到的——常常也适用于非 Calabi--Yau 类型的Feynman积分。其次，我们表明子部门中还可能存在关联积分的 Galois 对称性。在最简单的情况下，子部门中包含两个主积分，其定义涉及一个平方根 $r$，我们可以选择基 $(I_1,I_2)$，使得 $I_2$ 通过代换 $r \rightarrow -r$ 得到 $I_1$。这种模式在子部门中也持续存在，尽管这些子部门先验上不与任何涉及运动学变量的平方根相关。我们在多个实例中展示，在这种情况下，通过对积分进行适当的重新定义可以引入类似 $\sqrt{3}$ 的常数平方根。新的主积分然后再由 Galois 对称性关联，例如代换 $\sqrt{3} \rightarrow -\sqrt{3}$。为了处理平方根参数为完全平方数的情况，我们引入了极限 Galois 对称性。自对偶性和 Galois 对称性均对微分方程施加约束。