用于高维 Fokker-Planck 方程的基于评分的物理信息神经网络

Fokker-Planck (FP) 方程是随机过程中的基本 PDE。然而，维数诅咒 (CoD) 在处理高维 FP PDE 时提出了挑战。虽然蒙特卡罗方法和基础物理信息神经网络 (PINN) 已显示应对 CoD 的潜力，但这两种方法在处理与布朗运动相关的概率密度函数 (PDF) 时在高维情况下 exhibit 数值误差。点态 PDF 值随维数的增加而指数衰减，超过数值模拟的精度，导致巨大误差。此外，由于其大规模抽样，蒙特卡罗方法难以提供快速抽样。通过对对数似然 (LL) 建模来使用基础 PINN 将 FP 方程转化为难以处理的 HJB 方程，其误差随维数的增加而快速增长。为此，我们提出一种新方法，利用基于评分的求解器来拟合 SDE 中的评分函数。评分函数定义为 LL 的梯度，在推断 LL 和 PDF 中发挥基本作用，并可实现快速 SDE 抽样。引入三种拟合方法：评分匹配 (SM)、切片 SM (SSM) 和 Score-PINN。提出的基于评分的 SDE 求解器分为两个阶段：首先使用 SM、SSM 或 Score-PINN 获取评分；其次通过获得的评分使用 ODE 求解 LL。各方法之间的比较评估展示了不同的权衡。该方法在各种 SDE 上进行评估，包括各向异性 Ornstein-Uhlenbeck 过程、几何布朗运动以及具有不同特征空间的布朗运动。我们还测试了各种分布，包括高斯、对数正态、拉普拉斯和 Cauchy 分布。数值结果表明，基于评分的 SDE 求解器在不同设置下具有稳定性、速度和性能，巩固了其作为 CoD 用于高维 FP 方程解决方案的潜力。