$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中的散射集与单位根

若$\mathscr{G} = (G, +)$是一个阿贝尔群，$S \subset G$被称为在加法下散射，如果对所有$a,b \in S$，有$a+b \not \in S$。设$\mathscr{U}^{n}_{p}$是$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中$n$次单位根的集合，其中$n \geq 3$为整数，$p$为素数且满足$n|(p-1)$。当$6|n$时，$\mathscr{U}^{n}_{p}$在加法下不散射；否则，除有限多个$p$外，$\mathscr{U}^{n}_{p}$在加法下散射。本文还给出了关于$n \leq 10^8$时散射模的最小值、最大值及密度的实验数据。