双曲流形上准模的疤痕现象

设 $N$ 为紧致双曲流形，$M\subset N$ 为嵌入的全测地子流形，并设 $-\hbar^2\Delta_{N}$ 为半经典 Laplace--Beltrami 算子。对于任意 $\varepsilon>0$，我们显式构造了谱宽至多为 $\varepsilon\frac{\hbar}{|\log\hbar|}$ 的 \emph{准模} 族，这些准模在 $M$ 上表现出“强疤痕”现象，即它们的微局部提升弱收敛于一个在 $S^*M$（$\hookrightarrow S^*N$）上赋予正权重的概率测度。一个直接的推论是，$S^*N$ 上的 \emph{任意} 不变测度均出现在某些宽度为 $\varepsilon \frac{\hbar}{|\log\hbar|}$ 的准模的半经典极限的遍历分解中。