具有多项式增长球的 Cayley 图的缩放极限
群论
2018-06-15 v2 组合数学
一般拓扑
度量几何
摘要
Benjamini、Finucane 与第一作者已证明，若 (G_n,S_n) 是一列 Cayley 图使得 |S_n^n|=O(n^D|S_n|)，则序列 (G_n,d_{S_n}/n) 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下是相对紧的，且每个聚点都是装备左不变次 Finsler 度量的连通幂零李群。本文中我们证明此类聚点的维数上界为 D，并且在更强界限 |S_n^n|=O(n^D) 下，聚点的齐性维数上界为 D。我们的方法大致是运用 Breuillard、Green 与 Tao 关于近似群的著名结构定理，将 S_n^n 替换为有界秩的陪集幂零进程，然后利用我们先前论文中关于幂零进程的结果来研究此类陪集幂零进程的超极限。作为一个应用，我们给出了大直径顶点传递图序列缩放极限维数的上界。我们也恢复并改进了 Tao 关于满足界限 |S^n| < Mn^D|S| 的单个集合 S 进一步增长的论证的若干部分。
引用
@article{arxiv.1711.08295,
title = {Scaling limits of Cayley graphs with polynomially growing balls},
author = {Romain Tessera and Matthew Tointon},
journal= {arXiv preprint arXiv:1711.08295},
year = {2018}
}
备注
37 pages. This version contains updated references to the companion paper arXiv:1612.05152 to reflect some organisational changes we made to that paper