具有拉普拉斯相互作用的 (1+1) 维钉扎模型的标度极限

我们考虑一个随机场 $\varphi:\{1,...,N\}\to \mathbb{R}$，其具有形式为 $\sum_iV(\Delta\varphi_i)$ 的拉普拉斯相互作用，其中 $\Delta$ 是离散拉普拉斯算子，势函数 $V(\cdot)$ 是对称且一致严格凸的。钉扎模型定义为每当场接触充当缺陷线的 x 轴时给予奖励 $\varepsilon\ge0$。已知该模型在去局域化区域 $(\varepsilon<\varepsilon_c)$ 和局域化区域 $(\varepsilon>\varepsilon_c)$ 之间表现出相变，其中 $0<\varepsilon_c<\infty$。在本文中，我们给出了该相变的精确路径描述，提取了模型的完整标度极限。我们特别证明，在去局域化区域中，场以典型距离 $N^{3/2}$ 远离缺陷线，而在局域化区域中，距离仅为 $O((\log N)^2)$。在临界区域 $(\varepsilon=\varepsilon_c)$ 出现了一种微妙的场景，其中经过适当重标度的场在分布上收敛于指数为 2/5 的对称稳定 L\'evy 过程的导数。我们的方法基于马尔可夫更新理论。