失效雪崩、渗流团簇与论文引用中 Hirsch 指数的标度行为

衡量个体科学家引用不平等的一个流行指标是 Hirsch 指数（$h$）。若对任一科学家将其论文的引用数 $n_c$ 对具有该引用数的论文序号 $n_p$（论文按被引次数从高到低排序）作图，则 $h$ 对应于非线性引用函数不动点下方 $n_p$ 的最近较小整数值（若 $n_p$ 与 $n_c$ 在 $h$ 值附近为稠密整数集，则由 $n_c = h = n_p$ 给出）。同一指数可由弹性纤维束或渗流模型中尺寸为（$s$）的雪崩或团簇分布（$n_s$）估计（由 $h=s=n_{s}$）。另一个此类不平等指数称为 Kolkata 指数（$k$），其含义为 $(1-k)$ 比例的论文吸引了 $k$ 比例的引用（$k=0.80$ 对应于帕累托的 80-20 法则）。我们发现，对于应力（$\sigma$）、晶格占据概率（$p$）或 Kolkata 指数（$k$）在纤维束失效阈值（$\sigma_c$）或渗流阈值（$p_c$）或 Kolkata 指数临界值 $k_c$ 附近，分别很好地拟合 Widom-Stauffer 型标度 $h/[\sqrt{N}/log N]$ = $f(\sqrt{N}[\sigma_c -\sigma]^\alpha)$、$h/[\sqrt{N}/log N]=f(\sqrt{N}|p_c -p|^\alpha)$ 或 $h/[\sqrt{N_c}/log N_c]=f(\sqrt{N_c}|k_c -k|^\alpha)$，其中 $f$ 为渐近定义的标度函数，系统尺寸为 $N$（纤维或晶格位点总数）或 $N_c$（引用总数），$\alpha$ 为相应标度指数。我们还表明，若把不同国家议会或国民议会的成员数（$N_m$）（人口为 $N$）视为各自的 $h-$指数，则数据拟合标度关系 $N_m \sim \sqrt N /log N$，从而解决了一个近期的重要争议。