双范畴中的标量充实与余迹

已知每个幺半双范畴都有一个关联的辫幺半标量范畴。本文证明，每个在幺半和复合意义上均为闭合的幺半双范畴，都可以充实于标量充实范畴的幺半 2-范畴之上。这种充实为线性代数与范畴论之间的关系提供了若干关键见解。该充实将每个 2-胞腔集替换为一个标量，我们证明这种替换可以用余迹来给出，余迹最初由 Day 和 Street 在 profunctor 的背景下定义。这类似于线性映射之间的 Frobenius 内积的构造，后者是用线性映射的迹来构造的。在线性代数中，也可以用 Frobenius 内积来定义迹。我们证明余迹可以用充实来定义，并由此证明余迹是 Ganter、Kapranov 和 Bartlett 所研究的“范畴迹”的充实版本。因此，我们统一了范畴迹与余迹的概念。最后，我们研究了紧致闭合双范畴的迹与余迹之间的关系。我们证明迹与余迹具有结构化的关系，并共享线性迹的许多性质，包括但不限于对偶不变性和线性性。文中给出了启发性示例。我们还引入了一种带装饰的弦图语言来简化部分证明。