具有马尔可夫协方差的可扩展随机克里金

随机克里金因其灵活性与解析可处理性而成为仿真元建模的流行技术。其计算瓶颈是协方差矩阵求逆，该操作一般耗时 $O(n^3)$ 且在 n 较大时变得不可行，其中 n 为设计点数量。此外，协方差矩阵在 n 较大时常常病态，因此求逆易致数值不稳定，造成错误的参数估计与预测。这两类数值问题阻碍了大规模随机克里金的应用。本文提出一种新方法以解决它们。我们构造了一类称为马尔可夫协方差函数（MCFs）的协方差函数，其具有两个性质：(i) 关联的协方差矩阵可解析求逆，以及 (ii) 逆矩阵稀疏。利用 MCFs，求逆相关计算时间一般降至 $O(n^2)$，并可在对仿真误差与设计点附加假设时进一步降低数个数量级。解析可求逆性也大幅增强了数值稳定性。我们方法的关键在于识别出能在其逆矩阵中诱导稀疏性的协方差函数的一般函数形式。我们还建立了 MCFs 与线性常微分方程之间的联系。该联系提供了灵活且原则性的方法来构造广泛的 MCFs 类。大量数值实验表明，带 MCFs 的随机克里金能以计算高效且数值稳定的方式处理大规模问题。