连续随机能量模型吉布斯测度的采样与困难阈值

连续随机能量模型（CREM）是 Bovier 与 Kurkova 于 2004 年在 Derrida 与 Spohn 于 80 年代前期工作基础上引入的无序系统玩具模型。在 Addario-Berry 与 Maillard 近期的一篇论文中，他们提出了如下问题：阈值 $\beta_G$ 是什么，使得在任意逆温度 $\beta>\beta_G$ 下近似采样吉布斯测度在算法上变得困难？此处，近似采样是指算法的输出律到吉布斯测度的 Kullback–Leibler 散度在 $N\rightarrow\infty$ 时以趋于 $1$ 的概率呈 $o(N)$ 阶，而算法上困难是指运行时间，即算法查询的顶点数，超出多项式阶。本文证明当 CREM 的协方差函数 $A$ 为凹时，对所有 $\beta>0$，重整化树上的递归采样算法以 $O(N^{1+\varepsilon})$ 阶运行时间逼近吉布斯测度。对于非凹的 $A$，本文给出阈值 $\beta_G<\infty$，使得如下困难相变发生：a) 对每个 $\beta\leq \beta_G$，递归采样算法以 $O(N^{1+\varepsilon})$ 阶运行时间逼近吉布斯测度。b) 对每个 $\beta>\beta_G$，对一大类算法建立了困难性结果。即，对于此类中任一近似采样吉布斯测度的算法，存在 $z>0$ 使得该算法运行时间以趋于 $1$ 的概率至少为 $e^{zN}$。换言之，在此情形下不可能以多项式时间近似采样吉布斯测度。此外，我们给出了 CREM 自由能的一个下界，其可能具有独立价值。