Sárközy 定理在各种有限域情形下的形式

在本文中，我们加强了 Green 关于多项式环 $\mathbb{F}_q[x]$ 中 Sarkozy 定理类比的一个结果。在整数情形下，对于给定的常数项为零的多项式 $F \in \mathbb{Z}[x]$，（广义的）Sarkozy 定理给出了子集 $A \subset \{1, \ldots, n \}$ 的最大尺寸的上界，该子集不包含满足 $a_1 - a_2 = F(b)$（对某个 $b \in \mathbb{Z}$）的不同 $a_1,a_2 \in A$。Green 在多项式环 $\mathbb{F}_q[x]$ 的子集 $A \subset \mathbb{F}_q[x]$ 中证明了具有更强上界的一个类似结果，但要求附加条件：多项式 $F \in \mathbb{F}_q[x]$ 的根的个数与 $q$ 互素。我们推广了 Green 的结果，去掉了这一条件。作为一个应用，我们还对固定素数 $p$ 且 $n$ 很大时的 $q = p^n$ 得到了子集 $A \subset \mathbb{F}_q$ 的具有类似强上界的 Sarkozy 定理版本。