Anosov 映射的 Ruelle-Perron-Frobenius 谱

我们将一维动力系统中基于 Ruelle-Perron-Frobenius 转移算子的谱性质得到的若干结果推广到紧致流形上的 Anosov 微分同胚。这使得能够发展一种直接的算子方法来研究这些映射的遍历性质。特别地,我们证明可以在某些 Banach 空间上定义转移算子使其为准紧的(关于 SRB 测度的存在性、其光滑性质以及统计性质的信息可立即由这样的结果得出)。在维数 $d=2$ 时,我们证明与映射的光滑随机扰动相关的转移算子在恰当意义下接近于未扰动的转移算子。这便于轻易地获得很强的谱稳定性结果,后者继而也蕴含光滑确定性扰动的谱稳定性结果。最后,我们能够实现一种 Ulam 型有限秩逼近格式,从而将转移算子谱性质的研究化为一个有限维问题。