Rook 理论、$q$-形变 Ore 代数中的正规序与多项式推广

对于变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $q$-形变广义 Ore 代数交换关系 $XY-qYX= \mu I + \nu Y$ 的字，我们证明相应的正规序系数可以用 rook 与 file 的混合放置来解释。特别地，我们详细处理了相关的 $q$-形变 Ore-Stirling 数和 Ore-Lah 数。我们证明 $q$-形变 Ore-Stirling 数（对应地，$q$-形变 Ore-Lah 数）由阶梯棋盘（对应地，Laguerre 棋盘）上 rook 与 file 的混合放置数给出。利用这一组合解释，我们推导了它们的递推关系。此外，我们确定了 $q$-形变广义 Ore 代数中二项式 $(X+Y)^m$ 的正规序形式。随后将这些考虑推广到由满足 $XY-qYX=f(Y)$（其中 $f\in \mathbb{C}[Y]$ 为某一多项式）的 $X$ 和 $Y$ 生成的 $q$-形变多项式 Weyl 代数。特别地，引入了相关的 $q$-形变多项式 Stirling 数和 Lah 数并研究了它们的性质。二项式的正规序形式也被推广至 $q$-形变多项式 Weyl 代数。