协方差矩阵的稳健估计：对抗污染及其超越

我们考虑从样本 $Y_1,\ldots,Y_n$ 中估计随机向量 $Y\in \mathbb R^d$ 的协方差结构的问题。我们感兴趣的情形是 $d$ 相对于 $n$ 较大，但所关注的协方差矩阵 $\Sigma$ 具有（精确或近似的）低秩结构。我们假设给定样本满足以下之一：(a) $\epsilon$-对抗污染，即 $\epsilon$ 比例的观测可能被任意向量替换；或 (b) 样本为独立同分布但底层分布为重尾分布，即 $Y$ 的范数仅具有有限四阶矩。我们提出一种估计量，它能够自适应于协方差矩阵的潜在低秩结构以及污染数据的比例，并且即使在底层分布假设相当弱的情况下也能给出紧致的偏差保证。最后，我们讨论了能够以数值高效方式近似所提估计量的算法。