绝热活塞周期振荡的严格结果

我们研究了一个质量为 $M$ 的重活塞在一维空间中的运动。该活塞将两个气体室隔开，每个气体室包含有限多个质量为单位的理想气体粒子，这些粒子在 $d$ 维空间中运动，其中 $d\geq 1$。利用平均化技术，我们证明了当 $M$ 趋于无穷大且系统总能量有界、气体粒子数固定时，活塞的实际运动在 $M^ {1/2}$ 时间尺度上依概率收敛于预测的平均行为。Neishtadt 和 Sinai 此前曾指出，Anosov 的平均化定理应推广到此情形。当 $d=1$ 时，气体粒子仅在一维中运动，我们证明了活塞实际运动收敛于其平均行为的速率为 $\mathcal{O} (M^ {-1/2})$，时间尺度为 $M^ {1/2}$。这种收敛性在紧集上的所有初始条件下是一致的。我们还研究了粒子相互作用被平滑化时的活塞系统。收敛到平均行为的情况再次一致地发生，既针对初始条件也针对平滑化程度。此外，我们将结果推广到了 $N$ 个活塞分隔 $N+1$ 个气体室的情形。我们还对平均化理论进行了普遍讨论，并证明了许多先前已知的平均化结果。特别是，我们包含了主要由 Dolgopyat 提出的针对平滑系统的 Anosov 平均化定理的新证明。