接触变换群的黎曼几何

我们在接触变换群上定义了一个右不变黎曼度量，并研究其 Euler-Arnold 方程。如果该度量与接触形式相关联，则 Euler-Arnold 方程简化为 $m_t + u(m) + (n+2) mE(f) = 0$，其中涉及 Reeb 场 $E$、流函数 $f$、由 $f$ 定义的接触向量场 $u$ 以及动量 $m = f - \Delta f$。此处方程是在维度为 $2n+1$ 的紧流形 $M$ 上考虑的。当 $n=0$ 时，这简化为 Camassa-Holm 方程，我们强调了其与高阶方程的类比。我们利用 Euler-Arnold 方程的常规动量守恒律，将测地线方程重写为 Sobolev 类 $H^s$ 接触变换群上的光滑一阶方程，从而获得依赖于初始数据光滑解的时间局部存在性。此外，我们证明了一个类似于流体力学中 Beale-Kato-Majda 准则的全局存在性准则，并展示了该准则如何在全测地量子变换子群上自动满足。最后，我们简要讨论了 Euler-Arnold 方程的奇异解和守恒律。