接触型解与 3D Euler 方程的非混合性

我们证明，在任意闭 Riemann 三维流形 $(M,g)$ 上，赋予 $C^1$ 拓扑的光滑保体积向量场空间中的时间依赖 Euler 方程在任意固定螺旋度和足够大能量下是非混合的，从而解决了 Khesin、Misiolek 和 Shnirelman 提出的一个问题。为证明这一点，我们引入了一个新框架，将接触/辛几何不变量赋予任意三维流形上具有任意固定度量时的 Euler 方程的大量时间依赖解集合。这极大地拓宽了接触拓扑方法在流体动力学中的应用范围，此前这些方法仅应用于稳态解且未固定环境度量的情况。我们进一步利用该框架证明，从 Floer 理论（具体为嵌入接触同调）获得的谱不变量在赋予 $C^{1,s}$ 拓扑的相空间某些区域中定义了 Euler 方程的新的非平凡连续首次积分，从而产生可数无穷多个互不相交的不变开集。