潜空间中的 Ricci 流正则化用于偏微分方程的前向学习
机器学习
2025-08-05 v10 机器学习
摘要
我们提出了一种基于流形的机器学习编码器 - 解码器方法，用于学习时间动力学，特别是偏微分方程 (PDEs)，其中流形潜空间根据 Ricci 流演化。这可以通过参数化潜流形阶段，随后在物理信息设置中模拟 Ricci 流，匹配流形量以使 Ricci 流在经验上得以实现来完成。我们强调允许低维表示的动力学。使用我们的方法，由度量诱导的流形通过训练过程被识别，而由 Ricci 流引起的潜演化提供了一种适应性表示。通过利用这种流，我们在环境 PDE 时间区间连续体的所有值上维持了一个规范的流形潜表示。我们展示了 Ricci 流促进了诸如分布外数据学习和在选定 PDE 数据上的对抗鲁棒性等特性。此外，我们就允许更高维表示的特殊情况对我们的方法进行了全面扩展，例如超球面上的 Ricci 流以及利用 Ricci 流理论中的熵策略进行非参数几何流的神经发现。
引用
@article{arxiv.2401.14591,
title = {Ricci flow regularization in latent spaces for the forward learning of partial differential equations},
author = {Andrew Gracyk},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.14591},
year = {2025}
}
备注
Improved title; no major changes to content; presented in SIAM DS25