加法细胞自动机作为圆柱尺寸函数的可逆性

尺寸为 $n$ 的圆柱上的加法细胞自动机 (CA) 可以用长度为 $n$ 的 01 字符串 $V$ 来表示，即其规则。我们研究一个问题：给定一类规则 $S$，对于任何 $V\in S$，描述所有圆柱尺寸 $n', n'>n$，使得将 $V$ 补零扩展至长度 $n'$ 后表示尺寸为 $n'$ 的圆柱上的可逆加法 CA。由于 $V$ 的所有扩展具有相同的单位位置集合，因此讨论位置集合的类别比讨论规则类别更为方便。我们证明了一个可逆性判据。该问题对于“块集合”的无限类，即 $\{(0,1,\dots,h)|h\in\mathbb Z^+\}$，已完全解决。对于“指数集合”$\{(1,2,4,\dots,2^h)|h\in\mathbb Z^+\}$ 获得的结果显著降低了该类问题的复杂度。文中描述了将结果推广到其他规则/集合类别的方法。针对类别 $\{(0,1,2^m)|m\in\mathbb Z^+\}$ 提出了一个猜想。