q-变形代数 $U_q({\rm iso}_2)$ 的表示

构造了从具有生成元 $I$、$T_1$、$T_2$ 及定义关系 $[I,T_2]_q=T_1$、$[T_1,I]_q=T_2$、$[T_2,T_1]_q=0$(其中 $[A,B]_q=q^{1/2}AB-q^{-1/2}BA$)的 q-变形代数 $U_q({\rm iso}_2)$ 到 Hopf 代数 $U_q({\rm m}_2)$ 的扩张 ${\hat U}_q({\rm m}_2)$ 的代数同态 $\psi$。当 $q=1$ 时,代数 $U_q({\rm iso}_2)$ 导出欧几里得平面运动群 ISO(2) 的李代数 ${\rm iso}_2 \sim {\rm m}_2$。Hopf 代数 $U_q({\rm m}_2)$ 被视为 ${\rm iso}_2$ 的泛包络代数的 Hopf $q$-变形,在文献中已为人熟知。并非 $U_q({\rm m}_2)$ 的所有不可约表示都能扩张为扩张 ${\hat U}_q({\rm m}_2)$ 的表示。将同态 $\psi$ 与 ${\hat U}_q({\rm m}_2)$ 的不可约表示复合,我们得到 $U_q({\rm iso}_2)$ 的表示。这些 $U_q({\rm iso}_2)$ 的表示并非全不可约。$U_q({\rm iso}_2)$ 的可约表示被分解为不可约分支。由此当 $q$ 不是单位根时,我们得到 $U_q({\rm iso}_2)$ 的所有不可约表示。其中一部分表示在 $q\to 1$ 时变为李代数 iso$_2$ 的不可约表示。另一部分的表示没有经典类比。