Grassmann 空间中的表示与费米子自由度

在文献 [arXiv:1802.05554v3] 中，作者之一 (N.S.M.B.) 在研究整数自旋费米子的二次量子化时，于 Grassmann 空间中描述了费米子的内禀自由度。在本文中，我们研究群 $SO(5,1)$、$SO(3,1)$、$SU(3) \times U(1)$ 和 $SO(4)$ 在 Grassmann 空间中的表示，这些群作为群 $SO(13,1)$ 的子群尤为引人关注。出现在 Grassmann 空间中的二次量子化整数自旋费米子迄今未被观测到，可能是 Clifford 空间中出现的半整数自旋费米子之外的另一种选择。自旋-电荷-族理论使用两类 Clifford 算符——$\gamma^a$ 和 $\tilde{\gamma}^a$——分别描述自旋与电荷（第一类）和族量子数（第二类），不仅解释了族的出现，也解释了夸克与轻子、规范场、标量场等的所有性质。两种情况下，$d \ge(13+1)$ 中的规范场——两类 Clifford 情形和一类 Grassmann 情形中的自旋联络 $\omega_{ab \alpha}$，以及 vielbeins $f^{\alpha}{}_{\alpha}$——在 $d=(3+1)$ 中决定标量（空间指标 $\alpha=(5,6,\cdots,d)$ 者）和规范场（空间指标 $\alpha=(0,1,2,3)$ 者）。虽然洛伦兹群及其所有子群（任意维）在 Clifford 空间中处于群的基础表示，并包含族自由度，但 Grassmann 空间中的态相对于洛伦兹群表现为伴随表示，不允许有族。