框架乘子逆的表示

某些数学对象出现在许多科学学科中，如物理学、信号处理以及自然地，数学中。在一般设定下，它们可以被描述为框架乘子，由分析、乘以固定序列（称为符号）和综合组成。它们不仅是有趣的数学对象，而且对应用也很重要，例如用于实现时变滤波器。在本文中，我们展示了关于此类算子逆（若存在）的一个令人惊讶的结果，以及关于框架理论核心概念——对偶框架的新结果。我们证明，对于半规范化符号，任何可逆框架乘子的逆总是可以表示为带有倒数符号和给定框架的对偶框架的框架乘子。此外，其中一个对偶框架是唯一确定的，而另一个可以任意选择。我们研究了当两个对偶框架均可选为典范对偶时这一特殊情形的充分条件。与上述内容相关，我们证明了对偶框架的集合唯一确定了一个框架。此外，对于给定的框架，其所有对偶框架系数的并集在$\ell^2$中稠密。我们还研究了可逆Gabor乘子。最后，我们给出了Gabor情形下乘子可逆性的数值示例。