G函数表示为超几何级数中的有理函数的可表示性

Fresán 和 Jossen 对 Siegel 关于每个 $E$ 函数可表示为类型 ${}_pF_q[\underline{a};\underline{b};\gamma x^{q-p+1}]$（其中 $q\geq p\geq 0$，$\gamma \in \overline{\mathbb Q}$ 且参数 $\underline{a}, \underline{b}$ 为有理数）的 $E$ 函数的代数系数多项式的问题给出了否定回答。在本文中，我们在更一般的背景下研究 Fischler 和第二作者提出的一个关于 $G$ 函数的类似问题：每个 $G$ 函数是否都能表示为类型 $\mu(x)\cdot {}_pF_{p-1}[\underline{a};\underline{b};\lambda(x)]$（其中 $p\ge 1$，参数 $\underline{a},\underline{b}$ 为有理数，且 $\mu,\lambda$ 在 $\mathbb Q(x)$ 上是代数的且 $\lambda(0)=0$）的 $G$ 函数的代数系数多项式？他们已经证明，在 Grothendieck 周期猜想的一种推广以及对 $\lambda$ 的一个技术假设下，答案是否定的。利用微分 Galois 理论，我们证明，对于每个 $N\in \mathbb N$，存在一个 $G$ 函数，它不能表示为系数在 $\overline{\mathbb C(x)}$ 中、系数在 $\mathbb C(x)$ 中且在 $\mathbb{P}^1 (\mathbb C)$ 中至多有 $N$ 个奇点的线性微分方程的解的有理函数。作为推论，我们推导出当 $\lambda$ 是分子和分母次数受任意大的固定常数限制的有理函数时，并非所有的 $G$ 函数都能表示为上述类型超几何级数的有理函数。这针对此类 $\lambda$ 对 Fischler 和第二作者提出的问题给出了无条件的否定回答。