双势阱势的拟平稳分布与首次退出点密度的划分

设 f : R d $\rightarrow$ R 为光滑函数，(Xt) t$\ge$0 为过阻尼 Langevin 动力学 dXt = ----f (Xt)dt + \sqrt h dBt 解的随机过程。设 $\Omega$ $\subset$ R d 为光滑有界域，并假设 f | $\Omega$ 是具有退化势垒的双势阱势。本文在小温度 regime 下，即当 h $\rightarrow$ 0 + 时，研究 (Xt) t$\ge$0 在 $\Omega$ 内关于 f | $\Omega$ 两个势阱的拟平稳分布的渐近划分。我们表明该分布当 h $\rightarrow$ 0 + 时通常集中于 f | $\Omega$ 的恰好一个势阱中，但当 f | $\Omega$ 具有充分对称性时也可集中于两个势阱。此现象对应于半经典分析中的所谓隧穿效应。我们还在此设置下研究了当 h $\rightarrow$ 0 + 且 X0 按拟平稳分布分布时，(Xt) t$\ge$0 从 $\Omega$ 首次退出点分布的渐近行为。1 设置与结果 1.1 拟平稳分布及本文目的 设 (X t) t$\ge$0 为 R d 中过阻尼 Langevin 动力学解的随机过程：dX t = ----f (X t)dt + \sqrt h dB t , (1) 其中 f : R d $\rightarrow$ R 为势函数（本文中均取 C $\infty$），h > 0 为温度，(B t) t$\ge$0 为标准 d 维布朗运动。设 $\Omega$ 为 R d 的 C $\infty$ 有界开连通子集，并引入 $\tau$ $\Omega$ = inf{t $\ge$ 0 | X t / $\in$ $\Omega$} 为从 $\Omega$ 的首次退出时间。(1) 在 $\Omega$ 上的拟平稳分布是 $\Omega$ 上的概率测度 $\mu$ h，使得当 X 0 $\sim$ $\mu$ h 时，对任意时间 t > 0 及任意 Borel 集 A $\subset$ $\Omega$ 有 P(X t $\in$ A | t < $\tau$ $\Omega$) = $\mu$ h (A)。