关于二进逐点控制与中位数振荡分解的注记

在本注记中，我们做了以下工作：a) 利用 Lacey 的最近技术，我们给出了 Conde-Alonso 和 Rey 的控制定理的另一种证明，该定理指出：每个任意复杂度的正二进算子都被一个零复杂度的正二进算子逐点控制：$$\sum_{S\in\mathcal{S}} \langle f \rangle^\mu_{S^{(k)}} 1_S\lesssim (k+1) \sum_{S'\in\mathcal{S}'} \langle f \rangle^\mu_{S'} 1_{S'}.$$ b) 遵循中位数与均值振荡之间的类比，我们将 Lerner 的局部中位数振荡分解推广到任意（可能非加倍的）测度：$$\lvert f-m(f,\hat{S_0})\rvert 1_{S_0}\lesssim \sum_{S\in\mathcal{S}} (\omega_\lambda(f;S)+\lvert m(f,S)-m(f,\hat{S}) \rvert )1_S.$$ 这可视为适应于二进（鞅）BMO 的中位数振荡分解。作为该分解的一个应用，我们给出了二进（鞅）John--Nirenberg 不等式以及 Lacey 的控制定理的另一种证明，后者指出每个鞅变换都被一个零复杂度的正二进算子逐点控制。