用于选择横向模式的半透明超平面的相对Zeta函数与卡西米尔能量

我们研究了算子对 $A_0$ 和 $A_\alpha$ 的相对 zeta 函数，其中 $A_0$ 是 $L^2(\mathbf{R}^d)$ ($d \geq 2$) 中的自由无约束拉普拉斯算子，而 $A_\alpha$ 是与由超平面支撑的 δ 相互作用存在相关的 $A_0$ 的奇异扰动。在我们的设定中，与扰动强度相关的算子参数 $\alpha$ 属于 $\alpha=\alpha(-\Delta_{\parallel})$ 的形式，其中 $-\Delta_{\parallel}$ 是 $L^2(\mathbf{R}^{d-1})$ 中的自由拉普拉斯算子。因此 $\alpha$ 可能依赖于平行于超平面的波矢分量；在这个意义上 $A_\alpha$ 描述了一个选择横向模式的半透明超平面。作为应用，我们给出了相关热卡西米尔能量的表达式。当 $\alpha=\chi_{I}(-\Delta_{\parallel})$ 时，其中 $\chi_{I}$ 是区间 $I$ 的特征函数，热卡西米尔能量可以被显式计算。