基于位置与动量的相对熵技术及其在 Euler-Poisson 系统中的应用

本文对描述为 Hamilton 流的连续体可压缩运动的相对熵技术进行了系统研究。虽然 $N$ 个粒子的经典力学描述涉及关于位置和动量向量的 Hamilton 量，但连续流体的描述涉及关于密度和动量的 Hamilton 量。对于空间维度 $d\ge 2$，由于材料标架无关性，Hamilton 泛函对变形梯度或放置映射具有非凸依赖性。因此，相对于变形梯度或放置映射的相对熵技术的适用性受到固有限制。尽管存在这些限制，我们通过将其推向可用极限，界定了该技术的可行应用与局限性。具体而言，我们推导了相对 Hamilton 恒等式，其中 Hamilton 量以位置和动量场作为其原始和共轭状态变量，所有这些都在描述运动的参考坐标系背景下进行。这种方法在适用时产生了相当强的稳定性结论。作为实例，我们考虑了一维空间中的 Euler-Poisson 系统。对于一个特定的无压模型，我们在 $\delta$-激波形成之前验证了非增的 $L^2$ 状态差异。此外，还证明了弱-强唯一性、稀疏波的稳定性以及在大摩擦奇异极限下向梯度流的收敛。根据压力的存在与否，做出假设以适当容纳弱解中的 $\delta$-激波、真空和激波间断等现象。