时依赖反问题中的正则化：Lebesgue-Bochner 空间的几何结构与算法
数值分析
2025-07-29 v2 数值分析
摘要
我们在数学语境下考虑时依赖的反问题，采用 Lebesgue-Bochner 空间。此类问题出现在从给定观测数据中恢复函数的情形，其中函数或数据随时间变化。Lebesgue-Bochner 空间便可轻松地将时间与空间的不同性质融合其中。本文介绍了 Lebesgue-Bochner 空间中的两种正则化方法：1. Banach 空间中的经典 Tikhonov 正则化 2. 通过惩罚时间导数实现的时间变分正则化。在第一种情况下，我们额外研究了 Lebesgue-Bochner 空间的几何性质。特别是，我们计算了对偶映射，证明了这些空间具有幂类型光滑性。有了此性质，便可在时间与空间采用不同的正则性质情况下，在 Lebesgue-Bochner 空间中实现 Tikhonov 正则化。我们以动态计算机断层扫描为例对两种方法进行了测试。
引用
@article{arxiv.2506.11291,
title = {Regularization for time-dependent inverse problems: Geometry of Lebesgue-Bochner spaces and algorithms},
author = {Gesa Sarnighausen and Thorsten Hohage and Martin Burger and Andreas Hauptmann and Anne Wald},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.11291},
year = {2025}
}